В соревнованиях участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 из Дании, 9 из Швеции и 5 из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены определяется жребием. Найдите вероятность того, что последним будет выступать один из спортсменов Швеции?
Формулировка
Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где .
[править] Доказательство
Так как в результате независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие наступает с вероятностью, следовательно, противоположное ему событие с вероятностью .
Обозначим — наступление события в испытании с номером . Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате опытов событие наступает раз, тогда остальные раз это событие не наступает. Событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из элементов по . Это количество сочетаний находится по формуле:
.
При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:
.
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:
, где .
⇢