В правильном тетрайдере, расстояние между противолежащими рёбрами равно r. Найти длину ребра

Длину ребра обозначим через а. Тетраэдр расположим так, чтобы одна из высот его основания была параллельна оси х. Тогда в фронтальной проекции получим треугольник АМS, где АS= а, АМ= а*sqrt(3)/2. Из вершины S опустим высоту тетраэдра SО. Тогда из свойства медиан АО= 2/3АМ= а*SQRT(3)/3. Теперь можем найти высоту SО: SJ= sqrt(AS^2- AO^2)= sqrt(a^2- a^2/3)= a*sqrt(6)/3.Из точки М опустим перпендикуляр МК на сторону AS. Из ф-лы площади треуг-ка можем написать: MK*AS= SO*AM или r*a= a*sqrt(6)/3 * a*sqrt(3)/2= a^2*sqrt(2)/2. Отсюда а= r*sqrt(2).