около окружности описана трапеция АВСD, боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям, М - точка пересечения диагоналей трапеции. площадь треугольника СМD равна S.найдите радиус окружности.
1. Находится связь между прощадью трапеции Sabcd и прощадью треугольника CMD, равной S. Тут можно сделать очень глупую ошибку. Точка М не лежит на диаметре окружности, перпендикулярном основаниям. Поэтому всё, что у нас есть - подобие треугольников МВС и МАD. Ясно, что их стороны пропорциональны основаниям.
Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними. Проще всего это увидеть, если построить треугольник BDE, как показано на чертеже. DE II AC. Площадь BDE равна площади трапеции (у них общая высота и одинаковые средние линии) , а стороны у него - диагонали трапеции. Пользуясь этим, получаем
S = Sabcd *a*b/(a + b)^2;
2. Выражаем площадь трапеции через периметр и радиус вписанной окружности. При этом помним, что суммы противоположных сторон трапеции равны. Получаем
Sabcd = (a + b)*r;
3. Последнее необходимое соотношение получаем из треугольника АВК, где ВК II CD; При этом ВК = a + b - 2*r; АВ = 2*r; AK = a - b;
Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем
r = a*b/(a + b);
Собирая всё это, получаем
S = r^2;
⇢