Сумма квадратов параллельных сторон трапеции равна 288.

Question

Определите длину отрезка, параллельного этим сторонам и делящего площадь трапеции пополам. Будьте добры помочь.

Pain · Accepted Answer

Обозначим параллельные стороны трапеции a и b 
Длина искомой линии x = a + ( b - a) * k, где k - доля высоты трапеции от стороны длиной a до этой линии ( 0 <= k <= 1) 
Площадь трапеции находится как S = (a + b) * h/2 
Трапеции, содержащие сторону a и сторону b равны, обе они содержат сторону длиной x. 
Запишем равенство (a+x)*k*h/2 = (b+x)*(1-k)*h/2 
(1-k) в этом равенстве - доля высота трапеции от стороны длиной b до искомой линии. 
Сокращая на h/2 (высота трапеции не равна нулю) получим 
(a+x)*k = (b+x)*(1-k) 
Подставляя x = a + ( b - a) * k, упростим, приводя к квадратному уравнению относительно k: 
2*a*k+(b - a)*k^2 = (a + b + (b - a)*k)*(1 - k) 
(b - a)*k^2 + 2*a*k + (a+b)/(-2) = 0 
Дискриминант равен 4*a^2 + 2*(b - a)*(a + b) = 2*(a^2 + b^2) 
k = (-a +- корень ( (a^2 + b^2) / 2)) / (b - a) 
подставляя k в выражение x получаем 
x = +-корень ( (a^2 + b^2) / 2) 
Длина линии положительна, по условию a^2 + b^2 = 288, таким образом 
x = корень (288/2) = корень (144) = 12

Александр Власов · Answer

Извините, а вот это формула, она каноническая (не нашел в учебника) x = a + ( b - a) * k, где k - доля высоты трапеции от стороны длиной a до этой линии ( 0 <= k <= 1)