Для начала читаем:
Вале́нтность (от лат. valēns «имеющий силу» ) — способность атомов химических элементов образовывать определённое число химических связей с атомами других элементов.
Валентности составляющих:
Zn 2+
OH 1-
NO3 1 -
H 1+
Из этого следует, что в веществе Zn(OH)2 на один Zn 2+ надо два OH 1-, что-бы уравновесить заряды. Именно по этому OH взят в скобки и отмечен "дважды". т. е. с одной стороны Zn, а с другой два (OH).
Само уравнение:
Zn(OH)2 + 2 HNO3 = Zn(NO3)2 + 2 H2O
Помимо равновесия в самой молекуле, нам так-же нужно уравновесить количество вещества до реакции и после (до знака "равно" - то, что было, а после- то, что получилось) . Именно по этому мы ставим цифры перед формулами в уравнении.
Проще понять на простом примере:
HCl + Zn = ZnCl2 + H2
В результате реакции у нас получился ZnCl2 (валентность Cl 1-, а Zn 2+ ), т. е. понадобится две молекулы HCl, что-бы образовать одну молекулу ZnCl2, и мы ставим перед HCl цифру 2. Но если мы взяли два Cl то и H тоже получилось 2 (мы ведь не можем взять их по отдельности) . Как-раз получилось так, что H просто сам по себе не получается, и соединяется с другим H образуя Н2. т. е. мы пишем не 2Н, а Н2.
И вот что получилось:
2 HCl + Zn = ZnCl2 + H2
или если по количеству атомов записать, то:
2H, 2Cl + Zn = 2H, 2Cl, + Zn
Те-же атомы, просто по другому соединены друг с другом.
Вернемся к заданию.
Нужна цепочка превращений:
Zn(OH)2 =>Zn(NO3)2 => Zn
Был Zn(OH)2, стал Zn(NO3)2. OH заменили на NO3. Нужно вещество, содержащее NO3. Их может быть много, но лучше всего подойдет, конечно, HNO3 .
Zn(OH)2 + 2 HNO3 = Zn(NO3)2 + 2 H2O
В результате у нас остались лишние 2Н (от 2 HNO3) и 2OH ( от Zn(OH)2 ) , которые соединяются в 2 H2O.
С этим, надеюсь, понятно.
Потом:
Zn(NO3)2 => Zn
Сразу из Zn(NO3)2 цинк вытащить не получится. Тут еще одна реакция промежуточная.
2 Zn(NO3)2 ---температура---> 2 ZnO + 4 NO2 + O2
и потом
ZnO + C = CO + Zn
В данном случае, кислород окисляет углерод, который восстанавливает цинк. т. е. кислород окислитель, углерод восстановитель.
Ионное уравнение:
Zn (2+) + O (2-) + C (4+) = C (4+) + O (2-) + Zn (2+) (Заряды взяты в скобки, чтоб не путаться)
ТОЛЬКО ПОПРОБУЙ НЕ ПОНЯТЬ !!!
⇢ 
