Вопрос по мат. анализу

4.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x0,y0,z0) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x0,y0,z0) имеет максимум (минимум) , если её можно окружить такой окрестностью

(x0- ,x0+ , y0- ,y0+ ,z0- ,z0+ )

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x,y,z))

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x0,y0,z0) выполнялось строгое неравенство

f(x,y,z))

то говорят, что в точке (x0,y0,z0) имеет место собственный максимум (минимум) , в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x0,y0,z0) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

fx’(x0,y0,z0), fy’(x0,y0,z0) ,fz’(x0,y0,z0)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим y= y0,z= z0 сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :

v=f(x, y0,z0)

Так как мы предположили, что в точке (x0,y0,z0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум) , то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x0- ,x0+ ) точки x=x0, необходимо должно выполняться неравенство

f(x, y0,z0)