⇢ МК
Маргарита Камынина
Ольга
преобразуем x^2+4y^2-4x-16y; (x^2-4x)+(4y^2-16y)=(x^2-4x+4)+(4y^2-16y-16)-20=(x-2)^2+(2y-4)^2-20; уранение принимает вид
(x-2)^2+(2y-4)^2-129-20=0
(x-2)^2+(2y-4)^2=149
сделаем замены (x-2)=a (2y-4)=b
решим в целых числах уравнение a^2+b^2=149. ясно что |a|<=12 и |b|<=12 (13^2=169>149)
a^2=149-b^2 квадрат целого числа оканчивается только на цифры 0,1,4,5,6,9
если b^2 оканчивается на:
0, то 149-b^2(=a^2) оканчивается на 9 +
1, то 149-b^2(=a^2) оканчивается на 8 -
4, то 149-b^2(=a^2) оканчивается на 5 +
5, то 149-b^2(=a^2) оканчивается на 4 +
6, то 149-b^2(=a^2) оканчивается на 3 -
9, то 149-b^2(=a^2) оканчивается на 0 +
возможны 4 случая.
если a^2 оканчивается на 9, a in Z, |a| in [0;12] то вcё просто: на отрезке [1;12] есть только 1 целое число квадрат которого оканчивается на 9 - это 7 тогда |a|=7 a=+-7 a^2=49=>b^2=149-49=100 b=+-10
если a^2 оканчивается на 5, a in Z, |a| in [0;12] снова всё просто: на отрезке [1;12] есть только 1 целое число квадрат которого оканчивается на 5 - это 5 тогда |a|=5 a^2=25 b^2=149-25=124 b не является целым числом - решений нет
если a^2 оканчивается на 4, a in Z, |a| in [0;12]. на отрезке [1;12] есть 2 целых числа, квадрат которых оканчивается на 4 - 8 и 12
|a|=12 a^2=144 b^2=5 b - не целое - решений нет
|a|=8 a^2=64 b^2=85 b - не целое - решений нет
если если a^2 оканчивается на 0, a in Z, |a| in [0;12]. на отрезке [1;12] есть 2 целых числа, квадрат которых оканчивается на 0 - 0 и 10
|a|=0 a^2=0 b^2=149 b - не целое - решений нет
|a|=10 a=+-10 a^2=100 b^2=49 b=+-7
решением уравнений являются двойки чисел (a;b)
(-7;-10),(-7;10),(7;-10),(7;10),(-10;-7),(-10;7),(10;-7),(10;7).
заметим, что х^2 при делении на 4 дает 1 в остатке. тогда х при делении на 4 дает в остатке 1 или 3 a x-2 при делении на 4 даст в остатке 3 или 1(доказывать лень - просто поверь... ) значит x-2 не равен +-10(при делении на 4 дают 2 в остатке) но может быть равен+-7 (7 при делении на 4 дает 3 в остатке, -7 при делении на 4 дает 1 в остатке)
осталось совсем чуть-чуть сделать решить 4 простейшие системы уравнений.. .
1)
{x-2=-7; x=-5
{2y-4=-10;y=-3
2)
{x-2=-7; x=-5
{2y-4=10;y=7
3)
{x-2=7; x=9
{2y-4=-10;y=-3
4)
{x-2=7; x=9
{2y-4=10;y=7
Ответ: (-5;-3),(-5;3),(9;-3),(9;7)
Похожие вопросы