Задача: Капля с начальной массой M падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу m. Какова работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пренебречь) .
Помогите решить задачу с помощью интеграла или хотя бы до интеграла
Массу поделим на ежесекундную потерю - получим время падения t= M/μ.
За это время она полностью испаряется и проходит путь h равный g*t*t/2
Чтобы найти работу нам нужно изменение потенциальной энергии. Так как масса изменяется равномерно, то очевидно что работа A = (M/2)*g*h=((M/2)*g*g*(M/μ)*(M/μ) ) /2
Эх, я помог бы, да интеграл упал со стола и погнулся...
Масса теряется равномерно по времени, а не по координате, поэтому работа не равна (M/2)*g*h
Будем считать, что испарение идёт равномерно по поверхности капли и не влияет на её скорость (это грубое допущение, но иначе никак)
Тогда капля движется равноускоренно с ускорением g
A = ∫ F ds = ∫ F v dt = ∫ (M-mt)g gt dt
Интеграл берём по t от 0 до M/m
A = gM/(6m)
⇢