доказать, что если биссектриса треугольника делит его периметр пополам, то треугольник равнобедренный

Если на уровне 7-го класса, то так: перегнем треугольник по биссектрисе. Тогда, в силу равенства углов, сторона пойдет по стороне. Если при этом вершины не совпали, то одна из сторон будет лежать внутри другой. Противоречие возникает из-за неравенства треугольника. Рекомендую сделать чертеж.
З а м е ч а н и е. С помощью теоремы о биссектрисе задача решается мгновенно, но её, имхо, не проходят в 7-м классе.