Найти положительное n при котором значение выражения n*a^(1/n) будет наименьшим.

нужно производную по n от этой функции приравнять к нулю, так найдём точку возможного экстремума.
y=n*a^(1/n)

y'=a^(1/n) - ln(a) * a^(1/n) / n = 0;

n = ln(a);

пусть a>1. проверим, является ли найденная нами точка минимумом (мб максимум или просто точка перегиба, как x=0 у f(x) = x^3). для этого найдём знак второй производной:

y''( n = ln(a) ) = ( a^(1/n) * (1 - ln(a) / n )) ' = a^(1/n) * ( 1 + ln^2(a) / n^3) > 0.

итак, вторая производная положительная, а значит это точка минимума.

если a<=1, ln(a) <= 0, значит функция y(n) не имеет экстремумов при положительных n. минимум функции при этом достигается на одном из краёв промежутка. но к сожалению положительные числа - открытое множество (грубо говоря точка, где множество заканчивается, не принадлежит этому множеству) . найдём знак первой производной:

y' (a<=1) = a^(1/n) * (1 - ln(a) / n ) > 0

производная положительная при любых положительных n, когда выполняется условие a<=1. это значит, что функция непрерывно возрастает, а значит минимальное значение лежит при минимальных (не забываем, что n>0) значениях n.