Как построить график уравнения x^y = y^x?

Question

Вопрос задан чисто из спортивного интереса.
Если прологарифмировать уравнение, то получится ln x / x = ln y / y, но дальше, по-видимому нельзя.

Как известно, в отличие от сложения и умножения, возведение в степень не обладает переместительным законом, например, 2^3 не равно 3^2. Можно было ожидать, что x^y > y^x, если x > y, так здесь, 3^2 > 2^3. Но, например, 5^2 < 2^5.
Значит должна существовать кривая в первом квадранте (поскольку явно здесь и х и y положительны) , на которой возведение в степень обладает переместительным законом, т. е x^y = y^x. Если x > y, то по одну сторону от этой кривой будет выполнено неравенство x^y > y^x (большая степень соотвествует большему основанию) , по другую - x^y < y^x (большая степень соответствует большему показателю) .
Вопрос в том, как построить эту кривую, не пользуясь компьютерными графопостроителями, а пользуясь только методами анализа?
Подозреваю, что она как то связана с числом е.. .
Интересует не только результат, т. е. кривая, но и процесс её построения.

Василий · Accepted Answer

очевидно что при х=у уравнение превращается в тождество, т. е биссектриса первой четверти является графиком этой функции. очевидно что при х=2, у=4 и при х=4, у=2 уравнение справедливо, т. е. существует вторая ветвь графика которая проходит через точки (2, 4), (4, 2) и (е, е) которая лежит на прямой х=у. т. к. функция монотонная, то делаем вывод что она похожа (но не является) на гиперболу. при стремлении х к 1, у стремиться к бесконечности и наоборот, т. е. асимптотами ,,гиперборы, , являются прямые х=1 и у=1. итак проводим биссектрису первой четверти, отмечаем на ней точку А (е, е) . проводим прямые х=1, у=1, отмечаем точки В (2, 4) и С (4, 2), строим ,,гиперболу, , проходящую через точки А, В и С с ветвями неограниченно приближающимся к асимптотам.

Жолчубек Дюшембиев · Answer

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^y=y^x
"Не только" подразумевает, что результат тоже интересен. Чисто на всякий случай - выше самый простой из известных мне способов его проверить.