Помогите решить, Матан 1курс.

Ход рассуждений здесь примерно следующий (на примере первого задания) . Требуется найти эквивалентную бесконечно малую в виде А*(x-x_0)^k, однако x_0=0, поэтому эквивалентную станем искать в виде A*x^k. Эквивалентность двух бесконечно малых функций \alpha(x) и \beta(x) при x\to x_0 означает, что

\lim_{x\to\ x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1.

Если запись формул в нотации latex вам неясна, то скопируйте код формулы сюда: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php Под полем ввода появится картинка с формулой.

В нашем случае x_0=0, \alpha(x)=\ln\left(1+\arcsin^2\frac{\pi x}{4}\right), \beta(x)=A*x^k. И записанный выше предел примет вид:

\lim_{x\to\0}\frac{\ln\left(1+\arcsin^2\frac{\pi x}{4}\right)}{A \cdot x^k}=1.

Параметры A и k предстоит найти. Мы знаем, что при z\to 0 верна эквивалентность \ln\left(1+z)\sim z. Однако в нашем случае в роли z выступает арксинус, который тоже стремится к нулю. Иными словами,

\ln\left(1+\arcsin^2\frac{\pi x}{4}\right)\sim \arcsin^2\frac{\pi x}{4}

Это можно записать так:

\lim_{x\to\0}\frac{\ln\left(1+\arcsin^2\frac{\pi x}{4}\right)}{A \cdot x^k}=\lim_{x\to\0}\frac{\arcsin^2\frac{\pi x}{4}}{A \cdot x^k}

Далее, \arcsin z\sim z при z\to 0. В нашем случае \arcsin^2\frac{\pi x}{4}\sim \left(\frac{\pi x}{4} \right)^2. Т. е. предел можем продолжить:

\lim_{x\to\0}\frac{\arcsin^2\frac{\pi x}{4}}{A \cdot x^k}=\lim_{x\to\0}\frac{ \left(\frac{\pi x}{4} \right)^2}{A \cdot x^k}=
\frac{\frac{\pi^2}{16}}{A}\cdot \lim_{x\to\0}\frac{x^2}{x^k}

Отсюда ясно, что для равенства предела единице потребуется, чтобы A=\frac{\pi^2}{16}, а k=2. Т. е. искомая функция такова: \frac{\pi^2\cdot x^2}{16}.