какое проверочное к слову заснул

А че тут проверять и так все ясно - ты же не скажешь зОснул, или зЫснул.

А что тут проверять, все ясно, как божий день.

А какую букву вы хотите проверить? "а"?
"За" - это приставка. Нельзя написать зОснул, потому что приставки "зо" не существует.