Должен ли банк запрашивать оборотную сальдовую ведомость у только что открывшейся фирмы?

Банку пофиг. У них свои инструкции что с вас требовать, а когда вы открылись - про это в инструкциях не сказано

Нет. Если только вы собираетесь брать кредит в этом банке или проводится мониторинг на подтверждение полученного кредита в этом банке.

В законе нет ограничения в том, кто может требовать оборотную сальдовую ведомость и может ли это делать конкретно банк.
Но, на практике, у разных банков разные требования к предоставляемым документам. Вывод: банк не должен требовать данный документ, но вполне может это делать.

Для того, чтобы тщательнее разобраться в данной ситуации, необходимы подробности.

Почитайте 115-ФЗ... до нижнего белья имеют право...