Как сделать № 2.59* в учебнике по алгебре 10 класс Никольский Потапов Решетников Шевкин...

2.59. Решите систему уравнений:
а) { 9 x 2 −10xy+4 y 2 =3 2xy−3x+2y=1; ж) { x 2 + y 2 =1 x 3 + y 3 =−1.
Решение. а) С помощью замены неизвестных u = 3х − 2у, υ = xy перепишем исходную систему в виде

{ u 2 +2υ=3 2υ−u=1.
Эта система имеет два решения: u1 = 1, υ1 = 1 и u2 = −2, υ 2 =− 1 2 .
Все решения исходной системы найдем, объединив решения двух систем:

{ 3x−2y=1 xy=1 и { 3x−2y=−2 xy=− 1 2 .
Первая из них имеет два решения: (1; 1) и ( − 2 3 ;− 3 2 ) , а вторая не имеет решений. Следовательно, исходная система имеет те же два решения: (1; 1) и ( − 2 3 ;− 3 2 ) .
ж) С помощью замены неизвестных u=x+y , υ =ху перепишем исходную систему в виде

{ u 2 −2υ=1 u 3 −3uυ=−1.(3)
Из первого уравнения системы (3) получим, что υ= u 2 −1 2 ; подставив выражение u 2 −1 2 вместо υ во второе уравнение, перепишем систему (3) в виде

{ u 2 −2υ=1 u 3 − 3 u 3 −3u 2 +1=0.(4)
Второе уравнение системы равносильно уравнению u 3 −3u−2=0, имеющему очевидный корень u 1 =−1, другие корни этого уравнения получим, разложив его левую часть на множители: (и + 1)(и2 − и − 2) = 0. Найдя корни u2 = 2, u 3 =−1 уравнения u2 − u − 2 = 0 и учитывая, что u1 = u3, получим, что второе уравнение системы (4) имеет два различных корня: u 1 =−1 и u2 = 2.
Поэтому система (4) имеет два решения: u 1 =−1 , υ1 = 0 и и2 = 2, υ2 = 1,5. Все решения исходной системы найдем, объединив решения двух систем

{ x+y=−1 xy=0 и { x+y=2 xy=1,5.

Первая из них имеет решения ( 0; −1 ) и ( −1; 0 ) , а вторая не имеет решений.
Следовательно, исходная система имеет те же два решения: ( 0; −1 ) и ( −1; 0 ) .