He did play with other children. Как понять эту конструкцию? Почему не He played with other children ?

Это один из вариантов утвердительного предложения. Обозначает, что он ДЕЙСТВИТЕЛЬНО играл с другими детьми. Что-то вроде дополнительного акцента.

Ко всему вышенаписанному добавлю, что такой прием называется эмфаза.

да все верно, это усиление глагола. когда говоришь we do love you это значит что мы не просто любим, а еще как любим; ) а перевод вашего предложения следующий: Он таки играл с детьми (одесский манер) , или же Он все же (действительно, реально) играл с детьми

Смотря что там по контексту.. . Употребляется для усиления значения глагола.