Найдите экстремум функции z=x^3+8*y^3-6*x*y+5

Question

Елена Насонова · Accepted Answer

найдем стационарную точку, для этого найдем первые производные z по х и по у и приравняем нулю. z`(x)=3x^2-6y=0, z`(y)=24y^2-6x=0. решая совместно находим координаты стационарной точки М0, х=1, у=1/2. исследуем на максимум и минимум, для этого находим вторые производные z. z``(xx)=6x, z``(yy)=48y, z``(xy)=-6. теперь подставляем вместо х и у координаты точки М0 и находим числа А=6x=6, C=48y=24, D=-6 и число D=AC-B^2=108. согласно известной теоремы если D>0 и A>0, то в точке М (1, 1/2) имеется локальный минимум.

Александр · Answer

необходимые условия не всегда достаточны...

Алексей Плитюхин · Answer

Приравняем 0 производные по x и y: 
3*x^2 - 6*y = 0 
24*y^2 - 6*x = 0 
x = 1, y = 0.5 
Ну и подставим это в z: 
z=1+1-3+5=4

Аннет К · Answer

ну да, а ещё производные равны нулю при х=у=0 и эту точку тоже надо анализировать (хотя и ещё сложнее). . 
 
и, кроме того, анализ на экстремум обычно предполагает вычисления на бесконечности (или границах области определения) , и здесь функция уходит по разным направлениям как в плюс, так и в минус бесконечность..