Помогите пожалуйста! Функция y=x^2*(x-4)^2/16 четная или нечетная?

Функция четная:

f(x)=f(-x), потому что:

y(-x)=y=(-x)^4-8(-x)^2-9=(x)^4-8(x)^2-9

а следовательно график функции симметричен относительно оси ординат.

Найдем экстремумы функции. Для этого возьмем производную:

y'=(x^4-8x^2-9)'

y'=4x^3-16x

y'=4*x*(x^2-4)

снова формула разности квадратов двух чисел:

y'=4*x*(x^2-2^2) // (a-b)^2 = a^2 - 2*a*b + b^2

y'=4*x*(x-2)*(x+2)

у производной 3 "нуля" (когда функция обращается в ноль)
для этого достаточно решить уравнение
4*x*(x-2)*(x+2) =0

откуда x1=-2, x2=0, x3=2 (это координаты абсцисс точек пересечения функции с осью абсцисс) (т. е. график пересекает точки (-2;0), (0;0), (2;0))

Для того, чтобы определить области возрастания и убывания функции y(x) найдем знаки производной в интервалах (-беск, -2), (-2,0), (0,2) и (2,+беск) :

y'(-3)=4*(-3)*(-3-2)*(-3+2)

y'(-3)=4*(-3)*(-5)*(-1)

y'(-3)=-60<0, следовательно функция y(x) на интервале (-беск, -2) убывает

y'(-1)=4*(-1)*(-1-2)*(-1+2)

y'(-3)=4*(-1)*(-3)*(1)

y'(-3)=12>0, следовательно функция y(x) на интервале (-2, 0) возрастает

y'(1)=4*(1)*(1-2)*(1+2)

y'(-3)=4*(1)*(-1)*(3)

y'(-3)=-12<0, следовательно функция y(x) на интервале (0, 2) убывает

y'(3)=4*(3)*(3-2)*(3+2)

y'(-3)=4*(3)*(1)*(5)

y'(-3)=60>0, следовательно функция y(x) на интервале (0, 2) возрастает

Таким образом можно сказать, что точки функции y(x) с ординатами -2 и 2 являются минимумами функции, а точка с ординатой 0 - локальным максимумом, потому что на интервалах (-беск, -2) и (2,+беск) функция при стремлении x к -беск и к +беск, соответственно, стремится к бесконечности, т. е. на этих интервалах не имеет точек экстремума.

Найдем значения функции y(x) в точках экстремумов:

y(-2)=(-2)^4-8*(-2)^2-9

y(-2)=16-8*4-9=-25

y(0)=(0)^4-8*(0)^2-9

y(-2)=0-0-9=-9

y(2)=(2)^4-8*(2)^2-9

y(2)=16-8*4-9=-25

Тогда координаты точек экстремумов функции y(x):

(-2;-25), (0;-9), (2;-25)

Таким образом, область значений функции: y Э [-25, +беск)

3) Найдем точки перегиба функции. Для этого необходимо найти вторую производную и приравнять ее к нулю:

y''=(4x^3-16x)'

y''=12x^2-16

12x^2-16=0

12*(3/4x^2-2^2)=0 // формула разности квадратов двух чисел

12*(кор3*x/2-2)*(кор3*x/2+2)=0

Откуда координаты абсцисс точек перегиба: -4*кор3/3 и 4*кор3/3

Соответственно найдем координаты точек перегиба функции y(x):
y(-4*кор3/3)=(-4*кор3/3)^4-8(-4*кор3/3)^2-9

y(-4*кор3/3)=256/9-128/3-9

y(-4*кор3/3)=256/9-384/9-9

y(-4*кор3/3)=128/9-81/9

y(-4*кор3/3)=47/9

y(4*кор3/3)=47/9 (т. к. функция четная)

Тогда точки перегиба функции y(x): (-4*кор3/3;47/9) и (4*кор3/3;47/9)

3) Сделаем преобразования:
y=x^4-8x^2-9+16-16

y=x^4-8x^2+16-16-9

y=x^4-8x^2+16-25

y=((x^2)^2-2*4*(x^2)+16)-5^2 // (a-b)^2 = a^2 - 2*a*b + b^2

y=(x^2-4)^2-5^2 // a^2-b^2=(a-b)*(a+b)

y=(x^2-4-5)*(x^2-4+5)

y=(x^2-9)*(x^2+1)

снова формула разности квадратов двух чисел:

y=(x^2-3^2)*(x^2+1) // (a-b)^2 = a^2 - 2*a*b + b^2

y=(x^2+1)*(x-3)*(x+3)

у функции y(x) 2 действительных "нуля" (когда функция обращается в ноль)
для этого достаточно решить уравнение
(x^2+1)*(x-3)*(x+3) =0

откуда x1=-3, x2=3 (это координаты абсцисс точек пересечения функции с осью абсцисс) (т. е. график пересекает точки (-3;0) и (3;0) )

далее вычисляем координату ординат точек пересечения с осью ординат (x=0):

(0^2+1)*(0-3)*(0+3)=-9 (т. е. график пересекает точку (0;-9))

4) Найдем еще несколько необходимых для построения графика точек:

y(-4)=y(4)=109, т. е. точки (-4;109) и (4;109)

y(-1)=y(1)=-16, т. е. точки (-1;-16) и (1;16)