Исследовать ряд на сходимость

Question

прошу прощения за мисскликом созданный пустой вопрос xD заранее извинения за слабочитаемые формулы, но думаю будет понятно 
так вот нужно исследовать ряд на сходимость при вся значения параметра k 
общий член записывает в виде sin(pi*n/3)/(n^k*ln(n)) 
как я понимаю ряд является знакопеременным, могу ли я его исследовать на сходимость по признаку дирихле, сказав, что частные суммы этого синуса будут лежать между нулем и (sqrt(3)+1)/2 и дальше рассматривать предел знаменателя?

или вообще подобный ряд стоит рассматривать сразу на абсолютную сходимость, но что-то у меня не особо получается рассмотреть его по известным мне признакам сходимости :С

Виктория Ольшакова · Accepted Answer

Синус в ряд тейлора в окрестности нуля раскладывается как sinx = x - x^3/3 + o(x^4); 
поэтому сверху ограничим его как (pi*n/3) / (n^(k*ln(n)) ) = C*n^(-(k*ln(n)-1)) 
(это ограничение справедливо и для знакопеременного ряда) . 
Положительные k: 
Этот ряд, думаю, можно, начиная с какого-то члена ограничить по модулю С*n^(-2), который сходится. 
Ну действительно, логарифм монотонно растет, для любого фиксированного положительного k функция k*ln(n)-1 рано или поздно станет больше 2. Причем, уже начиная с k = 3 это выполняется для всех n. 
k=0: 
Разумеется, симметричные значения синуса по кругу будут сокращаться, но предела все равно нет. Есть 5 разных значений синуса, все. 
Отрицательные k: 
У нас сразу положительная степень. Расходится.