Собеседник не видит меня в скайпе. Я вижу себя и его, а он не видит. При этом, других собеседников он видит, и я тоже.

Удали его из своих контактов - пусть он тоже тебя удалит. Обое перезагрузите компьютер. Кто-то один пусть добавит другого вновь в контакты, а второй пусть согласится и добавит первого.

Если не поможет - переустанавливайте скайп