⇢ МК
Михаил Кучинов
ПЗ
Павел Заколюкин
переносим правую часть уравнения в левую.
cos5x-sin5x-sin7x+cos3x=0
скомпануем косинусы и синусы:
cos5x+cos3x - (sin5x+sin7x)=0
воспользуемся формулами:
sina+sinb = 2sin((a+b)\2)*cos((a-b)\2)
cosa+cosb = 2cos((a+b)\2)*cos((a-b)\2)
получаем:
cos5x+cos3x= 2cos((5x+3x)\2)*cos((5x-3x)\2)=2cos4x*cosx
sin7x+sin5x = 2sin((7x+5x)\2)*cos(7x-5x)\2)=2sin6x*cosx
вставим полученные формулы в наше уравнение.
получим:
2cos4x*cosx - 2sin6x*cosx=0
выносим 2cosx за скобку.
получаем
2cosx*(cos4x-sin6x)=0.
тут либо cosx=0, либо cos4x-sin6x=0/
рассмотрим сначала cosx=0
x=pi/2 + pi*n
теперь рассмотрим cos4x-sin6x=0
сделаем замену 2x = t
уравнение примет вид:
cos2t - sin3t=0
воспользуемся формулами:
sin3a=3sina-4sin^3(a) (синус в кубе)
cos2a=1-2sin^2(a) (синус в квадрате)
подставим в уравнение:
1-2sin^2(t)-3sint+4sin^3(t)=0
сделаем еще одну замену: sin(t) = y
получаем:
4y^3-2y^2-3y+1=0
получаем у=1, у= (2+коренькв2)\4. у= (2-коренькв2)\4
проверяем, чтобы полученные y не были больше 1 и меньше -1, тк sin принимает значение только в этом интервале. таких корней у нас нет.
у=1
sint=1, t=pi\2 + 2pi*n, t=2x, 2x=pi\2+2*pi*n, x=pi\4 +pi*n
у= (2+коренькв2)\4
sint=(2+коренькв2)\4, t = (-1)^n arcsin((2+коренькв2)\4) + pi*n, t=2x,
2x = (-1)^n arcsin((2+коренькв2)\4) + pi*n, x=0,5*(-1)^n arcsin((2+коренькв2)\4)+0,5*pi*n
у= (2-коренькв2)\4, тут все тоже самое, что и с у= (2+коренькв2)\4
ответ:
x=pi/2 + pi*n
x=pi\4 +pi*n
x=0,5*(-1)^n arcsin((2+коренькв2)\4)+0,5*pi*n
x=0,5*(-1)^n arcsin((2-коренькв2)\4)+0,5*pi*n
Карнелия
Ответ. cos(5*x)-sin(5*x)=sin(7*x)-cos(3*x); 2*cos(4*x)*cos(x)-2*sin(6*x)*cos(x)=0; cos(x1)=0; sin(6*x)-cos(4*x)=0;
sin(6*x)-sin(0,5*pi-4*x)=0; 2*cos(0,25*pi+x)*sin(5*x-0,25*pi)=0;
cos(0,25*pi+x2)=0; sin(5*x3-0,25*pi)=0;
Похожие вопросы