Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии равна 56. Сумма последних четырех членов этой прогрессии равна 112. Чему может быть равно число членов прогрессии, если известно, что её разность – целое число?
Можно решать так:
S4=56,
Рассмотрим сумму 4 членов, начиная со второго, т. е S5-a1=S4+a5-a1=S4+(a1+4*d)-a1=S4+4*d=S4+4*d*(5-4).
Аналогично рассмотрим сумму 4 членов, начиная с третьего, т. е. S6-S2=S5+a6-a2=S5+(a2+4*d)-a2=S5+4*d=S4+4*d*2=S4+4*d*(6-4).
Рассуждая так далее, получаем, что сумма последних четырех членов равна Sn=S4+4*d*(n-4).
Получаем уравнение: 112=56+4*d*(n-4), откуда 4*d*(n-4)=56, d*(n-4)=14.
Известно, что d - целое число, n - по определению целое число, значит и (n-4) - тоже целое число.
Получаем 4 формальных решения:
d=2, n=11;
d=7, n=6;
d=-2, n=-3;
d=-7, n=2.
По определению n не может быть отрицательным числом, а также n не может равняться 2, так как нам известно, что n больше 4.
Остается два решения: d=2, n=11; и d=7, n=6.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что оба решения подходят.
Итак: число членов прогрессии равно или 6 или 11.
В первом случае, прогрессия такая: 3,5; 10,5; 17,5; 24,5; 31,5; 38,5.
Во втором случае такая: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31.
⇢