Чему равна сумма членов арифметической прогрессии?

Рассказывают, что однажды учитель начальной школы, желая занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал детям «трудное» задание — вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100:

1 + 2 + 3 + 4 + .+100.

Один из учеников моментально предложил решение. Вот оно. :

1+2 +3+...+98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + .+(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + .+101 + 101 = 101 • 50 = 5050.
50 раз

Это был Карл Гаусс, ставший потом одним из самых знаменитых математиков мира*.

*Подобный случай с Гауссом действительно имел место. Однако здесь он значительно упрощен. Предложенные учителем числа были пятизначными и составляли арифметическую прогрессию с трехзначной разностью.

Идею такого решения можно использовать для нахождения суммы членов любой арифметической прогрессий.

Лемма. Сумма двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от концов, равна сумме крайних членов.

Например, в конечной арифметической прогрессии

1, 2, 3....98, 99, 100

члены 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97 и т. д. являются равноудаленными от концов этой прогрессии. Поэтому их суммы 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 равны сумме крайних членов 1 + 100.

Доказательство леммы. Пусть в конечной арифметической прогрессии

a1, a2 , .an—1, an

два каких-нибудь члена одинаково удалены от концов. Предположим, что один из них есть k-й член слева, то есть ak, а другой — k-й член справа, то есть an—k+1. Тогда

ak + an—k+1=[a1+ (k — 1 )d] + [a1 + (п — k)d] = 2a1 + (n — 1)d.

Сумма крайних членов, данной прогрессии равна

a1 + an = a1 + [a1 + (n — 1)d] = 2a1 + (n — 1)d.

Таким образом,

ak + an—k+1 = a1 + an

что и требовалось доказать.

Используя доказанную лемму, легко получить общую формулу для суммы п членов любой арифметической прогрессии.

Имеем:

Sn = a1+a2 + .+an—1 + an

Sn = an+ an—1 + .+a2 + a1.

Складывая эти два равенства почленно, получаем:

2Sn = (a1+an) + (a2+an—1 )+...+(an—1+a2) + (an+a1)

но

a1+an = a2+an—1 = a3+an—2 =...

Поэтому

2Sn = n (a1+an),

откуда

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число всех членов.

В частности,

Упражнения

971. Найти сумму всех нечетных трехзначных чисел.

972. Сколько ударов сделают часы в течение суток, если они отбивают только число целых часов?

973. Чему равна сумма первых п чисел натурального ряда?

974. Вывести формулу длины пути, пройденного телом при равномерно ускоренном движении:

где v0 — начальная скорость в м / сек, а — ускорение в м / сек2, t — время движения в сек.

975. Найти сумму всех несократимых дробей со знаменателем 3, заключенных между целыми положительными числами т и п (т < п) .

976. Рабочий обслуживает 16 ткацких станков, работающих автоматически. Производительность каждого станка а м/ч. Рабочий включил первый станок в 7 ч, а каждый следующий на 5 мин позже предыдущего. Узнать выработку в метрах за первые 2 ч работы.

977. Решить уравнения:

а) 1 + 7 + 13 + .+х = 280;

б) (х + 1) + (х + 4) + (х + 7) +..+(х + 28) = 155

978. С 1 по 12 июля включительно температура воздуха ежедневно поднималась в среднем на 1/2 градуса. Зная, что средняя, температура за это время оказалась равной 183/4 градуса, определить, какой была температура воздуха 1 июля.

979. Найти арифметическую прогрессию, у которой среднее арифметическое п первых членов при любом п равно их числу.

980. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой

a6 + a9 + a12 + a15 = 20.

ОТВЕТЫ