При резком опускании поршня объем газа уменьшился вдвое. Можно ли утверждать что давление газа при этом возросло вдвое?

Можно. Давление соответственно вдвое увеличилось.

Можно, если бринебречь температурным изменением (поршень нагревает цилиндр).

Так как процесс не изотермический (равновесный) то давление возрастет больше чем в два раза, а затем когда придет в изотермию то действительно будет в 2 аза больше исходного