Должен ли директор уволить тренера не имеющего среднего или высшего профессионального образования

Обычно дело квалификации это личное дело начальства. Вы можете хоть бомжа пригласить к себе работать, если это разрешает устав вашей компании. Если для занятия должности требуется квалификация в обязательном порядке, то конечно в таком случае нужно искать нового, но тогда создается такой вопрос - а на каких основаниях вы его принимали на работу? Он добросовестный работник, был принят по трудовому договору, то есть создается такая ситуация, когда уволить надо, но без проблем для себя уволить не можете. В любом случае смотрите свои положения.

Нормальный директор недвусмыленно скажет тренеру, что нужно получить диплом

Если его работа и успехи учеников устраивают, то почему он не должен работать .