Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Задан периметр фигуры - Р. Найти размеры окна, так чтобы его полная поверхность была наибольшей.
Понимаю, что решать эту задачку надо через поиск наибольшего значения функции. Но как найти эту самую функцию и нужное значение не понимаю совсем. Помогите!!!
Ширина окна х. Высота прямоугольной части - y.
Площадь x*y+пx²/8. Тут п - число пи.
Периметр x+2y+пx/2=P
Отсюда находишь y через х, подставляешь его в первую формулу.
Это получилась зависимость площади от х при заданном P.
Находишь производную, приравниваешь нулю, решаешь уравнение, получаешь оптимальный х. Через него по второй формуле y.
Самому мне делать подстановки и решать уравнение некогда, полагаю, для тебя это тоже труда не составит, только немного времени.
Пусть окно имеет размеры: нижняя сторона - а, боковые стороны - b, тогда диаметр полукруга тоже а, его длина πa/2.
Получается: Р = а + 2b + πa/2.
Р константа, получаем b = (P-a-πa/2)/2.
Теперь площадь:
S = ab + πa^2/8.
Подставьте b, и получите функцию S(a). Дифференцируйте ее.
Примерно так, если нигде не наврал.
Площадь окна - это площадь прямоугольника со сторонами a, b и площадь полукруга диаметра а. Так что площадь равна ab + pi*a²/8, при этом периметр равен 2b+a+pi*a/2, откуда можно выразить одно через другое и подставить в первое выражение. Так что получаем функцию одной переменной.
P = Pi*r + 2*r + 2*x. Отсюда выразим, например, х: x = [P - (Pi + 2*r)] / 2.
S = P*r - (3*Pi/2 + 2)*r*r.
Далее, dS/dr = 0 ==> r = P / (3*Pi + 4) - точка максимума. Вторую сторону мы уже выразили в начале...
⇢