Как правильно: их или них? т. е. выражение : с помощью их.... или с помощью них.. . какое и когда использовать?

ПРАВОПИСАНИЕ МЕСТОИМЕНИЙ

ЛИЧНЫЕ МЕСТОИМЕНИЯ
У местоимений 3-го лица он, она, оно, они в косвенных падежах пишется начальная н, если эти местоимения употребляются после предлогов: у него (нее, них) , к нему (ней, ним) , о нем (ней, них) , с ним (ней, ними) и т. д.

Примечание 1. Буква н не присоединяется, если личные местоимения употребляются после производных предлогов, управляющих дательным падежом (благодаря, наперекор, вопреки, согласно, навстречу) : благодаря ему (ей, им) Нет наращения н, если указанные местоимения следуют за сравнительной степенью прилагательного: моложе его (ее, их) , ближе их.

Так точно.
С их помощью. Но: с помощью них.

С помощью их денег.. .
С помощью них, наконец-то разломали...

около них или около их