верно ли то, что если функция четна, и не является константой в любой окрестности нуля, то в нуле у нее экстремум.

Неверно: y=cos(1/x), но это разрывная функция
(хотя условие не запрещает разрывы) .

Более хитрый пример, с непрерывной функцией:

y=x^2*cos(1/x), при x =/= 0; y(0)=0.

Господа-коллеги! То, что "очевидно", может быть и неверным...

А куда она денется? Нарисуй любой график четной функции и увидишь.