При каких значениях а корни уравнения х2-8ах+27=0 относятся как 3:1

Question

Юлия · Accepted Answer

Пусть один из корней равен k, тогда второй 3k. 
По т. Виета х1*х2=27 
k*3k=27 
k^2=9 
k=+-3 
корни 3 и 9 или -3 и -9 
По т. Виета х1+х2=8а 
1) 3+9=8а; 8а=12; а=1,5; 
2) -3+(-9)=8а; 8а=-12; а=-1,5. 
Ответ: а=1,5 или а=-1,5.

Мария Шведкова · Answer

....
D/4 = 16a^2 - 27 >=0 => a E (-bes; -3V3] U [3V3; bes) 
x2 / x1 = (4a - sqr(D/4)) / (4a + sqr(D/4) = 3 
Решаешь это уравнение и находишь, с учётом ОДЗ

Борис Тарханов · Answer

D = (8a)^2 - 4*27 = 64a^2 - 108 = 4 (16a^2 - 27) 
a^2 > 27/16 
I a I > 3/4 * sqrt 3 
 
x1 = [8a + 2 sqrt (16a^2-27) ] / 2 = 4a + sqrt (16a^2-27) 
 
x2 = [8a - 2 sqrt (16a^2-27) ] / 2 = 4a - sqrt (16a^2-27) 
 
4a + sqrt (16a^2-27) = 3 * [ 4a - sqrt (16a^2-27) ] 
 
4a + sqrt (16a^2-27) = 12 a - 3 sqrt (16a^2-27) 
4 sqrt (16a^2-27) = 8a 
sqrt (16a^2-27) = 2a 
a>0 (а при D>0 ---a > 3/4 * sqrt 3) 
 
возводим обе части в квадрат 
16a^2-27 = 4a^2 
12 a^2 - 27 = 0 
a^2 = 27/12 
a^2 = 2.25 
I a I = 1.5 
a1 = -1,5 не удовл. условию a > 0 (при возведении в квадрат) 
 
а2 = 1,5 
 
Ответ: а = 1,5 
 
Проверка: 
x^2 - 8*1.5*x + 27 = 0 
x^2 - 12x + 27 = 0 
D = 144 - 108 = 36 = 6^2 
x = (12 +/-6) / 2 = 6 +/-3 
x1 = 6+3 = 9 
x2 = 6-3 = 3 
9/3 = 3 условие выполнено