В прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ=9см и катетом АС=6см вписан ромб ADEF так, что D лежит на катете АС, Е - на ВС и F на АВ. Найти сторону ромба
По теореме Пифагора определим длину катета СВ:
СВ = (кв. корень) (9^2 - 6^2) = (кв. корень) (45) = 3*(кв. корень) (5)
Обозначим сторону ромба через х, АД = ДЕ = ЕF = AF = x.
Треугольники ДСЕ и АСВ - подобны, так как ДЕ параллельно АВ.
Составляем пропорцию:
СЕ/CB = СД/CА = (СА - х) /CA
СЕ/(3*(кв. корень) (5)) = (6 - х) /6
СЕ = 3*(кв. корень) (5)*(6 - х) /6 = (кв. корень) (5)*(6 - х) /2
В прямоуголном треугольнике ДСЕ
ДС^2 + СЕ^2 = ДЕ^2
Здесь ДС = 6 - х, ДЕ = х, СЕ = (кв. корень) (5)*(6 - х) /2, поэтому
(6 - х) ^2 + 5*(6 - х) ^2/4 = x^2
(6 - х) ^2 * (1+5/4) = x^2
(6 - х) ^2 = (4/9)*x^2
Получаем квадратное уравнение:
5х^2 -108x +324 = 0
Решаем это уравнение, получаем
х1 =18, х2 = 3,6
Решение х1 - не подходит, сторона ромба меньше 6, поэтому
решение х2 - сторона ромба 3,6 см.
Ответ: Сторона ромба 3,6 см
⇢