⇢ 
Славик
Как найти площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины его противоположных
сторон, равны?
Гена Тестов
Площадь S выпуклого четырехугольника определяется по формуле:
S = 1/2 *d1 * d2 * sin(a), где d1, d2 - диагонали четырехугольника, а - угол между ними.
Неизвестен только угол а.
Чтобы его найти соединим середины сторон четырехугольника. Полученная фигура - параллелограмм (по определению; противоположные стороны параллельны одной их диагоналей, как средние линии треугольников) . По условию диагонали этого параллелограмма равны, значит он является прямоугольником. Значит угол между его смежными сторонами равен 90 градусов. Следовательно и угол между диагоналями равен 90 градусов (так как они параллельны сторонам прямоугольника) . Подставляем значения в формулу и получаем:
S = 1/2 * 3 * 4 * sin(90) = 3 * 2 * 1 = 6.
ОП
Олег Петрухин
Пусть — данный четырёхугольник, — середина стороны — середина стороны — середина стороны — середина стороны . Проведём диагонали и и отрезки и, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки и параллельны диагонали и равны её половине, а отрезки и параллельны диагонали и равны её половине. Поэтому — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали и равны, то — прямоугольник, и угол — прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями и тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника будет равна половине произведения его диагоналей, то есть 1//2*4*3=6
Похожие вопросы