Подскажите, в каких банках или ломбардах Тихорецка можно заложить автомобиль, не передавая авто на стоянку кредитора.

Вот некоторые ломбарды в городе, которые мне известны. Попробуйте там узнать.
Союз ломбардов: ул. Октябрьская, д. 87, дом быта "Эксспресс", 1-й этаж, тел: +7 (929) 845-08-83
Благо: ул. Подвойского, 39а, тел: +7 (988) 380-09-89