В ночное время между Ростовом и Таганрогом нет никакого транспортного сообщения. Этот вопрос многократно возникал в разные годы. Последний автобус (через день) идет в 22-39, а первый в 5-утра. Нет и ночных электричек и поездов.
Теперь то что касается маршруток. Есть две компании перевозчиков. Одни работают от Ростов-Пригородного (напротив Ростов-Пригородный) с утра до 22-00. Последняя маршрутка всегда уходит в 22-00. Они работают (стартуют) по наполняемости пассажирами, если людей долго нет, то могут собирать пассажиров целый час....
А другая компания перевозчиков работает с автовокзала Ростова, который находиться напротив Ростов-Главного . (впрочем Ростов-Пригородный тоже рядом 5 минут пешком вдоль трамвайных путей направо). Там маршрутки ходят по времени, с 6-00 до 21-00, примерно каждые 15-20 минут. Советую Вам уезжать на них.
Обе компании маршруток прибывают в Таганрог вначале на Таганрог-1 (Новый Вокзал), а потом на Таганрог-2 (Старый Вокзал). В пути полтора часа + время пробок связанное с выездом из Ростова в часы-пик, утром это с 8 до 10 утра. Цена 92 руб.