Имеет ли право фитнесс-зал отказаться выдавать клиенту новый абонемент за плату потому что просто они так захотели?...

В соот. с п. 1, ст. 426 ГК РФ, публичным договором признается договор, заключенный коммерческой организацией и устанавливающий ее обязанности по продаже товаров, выполнению работ или оказанию услуг, которые такая организация по характеру своей деятельности должна осуществлять в отношении каждого, кто к ней обратится (розничная торговля, перевозка транспортом общего пользования, услуги связи, энергоснабжение, медицинское, гостиничное обслуживание и т. п.) .
Коммерческая организация не вправе оказывать предпочтение одному лицу перед другим в отношении заключения публичного договора, кроме случаев, предусмотренных законом и иными правовыми актами.
Таким образом, фитнес-зал не имеет права отказать вам в предоставлении абонемента.