university entrance или admission to the university?Поступление у ниверситет.

поступить в ВУЗ - enter the university
Yesterday he celebrated his entrance to the university.

Entrance - это факт приёма/поступления, часто по итогам экзаменов
Entrance to universities was restricted. — Прием в университеты был ограничен.
his entrance to Princeton — его поступление в Принстонский университет
entrance to the college is by examination only — прием в колледж только по сдаче экзаменов

Admission - это что-то типа отбора, именно приём на основании чего-то
advanced standing admission — прием на основании накопленных достижений (о приеме студента в учебное заведение)
freshman standing admission — амер. прием в высшее учебное заведение на основании достижений в школе
open admission — %% амер. открытый прием (прием любого выпускника школы в колледж)
admission to the school — запись в школу
admission to membership of the United Nations — принятие (государства) в члены ООН

Вот фильм, который хорошо иллюстрирует эту систему в США
http://www.kinopoisk.ru/film/577648/

Ещё раз
entrance - это всё равно, что зачисление в ВУЗ у нас
admission - это или предварительный допуск к экзаменам, курсам и т. п.
или же чаще, ну как у нас сейчас, допуск/зачисления на основании того же ЕГЭ.