Есть какой-нибудь способ перемещать блоки и элементы любого стороннего сайта, чтобы при каждом повторном открытии этого сайта изменения ещё и сохранялись?
Пример на картинке. 
Для браузера есть расширения (если браузеры по новее) - некоторые расширения такое делать позволяют, лично для любых сайтов я видал и для вконтакте тоже видал (на оперу)
устанавливаешь расширения на браузер для установки собственных стилей, пишешь стили и если надо, то прописываешь на них приоритет. например для хрома такое расширение называется "My Style"
например я для интереса просто сделал иконки play/pause квадратными
Эти изменения будут видны только Вам и по этому в них нет никакого логического смысла!
тут нужны спец программы и хакерские трюки 
⇢