/ Помогите. Разложите на множители выражение X4+X2+1.

Можно разложить и на действительные множители.

Однако придётся применить хитрый способ, о котором можно догадаться только с
помощью знания о комплексных числах.

Комплексные корни уравнения t^2 + t + 1 (полученного при замене t = x^2)
очевидно равны

t1,2 = (-1 +- K(3)i) / 2

К (3) я обозначил корень из 3, i - это мнимая единица.

В показательной форме их можно представить как

t1,2 = e^i*(+-2п/3)

Теперь ищем комплексные корни исходного биквадратного многочлена

x^2 = e^i*(2п/3)

x = +-e^i(п/3)

x = +-(1 + K(3)i)/2

и

x^2 = e^i*(-2п/3)

x = +-e^i(-п/3)

x = +-(1 - K(3)i)/2

Значит исходный многочлен 4-й степени раскладывается так:

x^4 + x^2 + 1 = (x - (1 + K(3)i) / 2)(x + (1 + K(3)i) / 2)(x - (1 - K(3)i) / 2)(x
+ (1 - K(3)i) / 2)

А теперь фокус!

Умножаем первую скобку на третью, а вторую - на четвёртую

Воспользуемся формулой (x - a) (x - b) = x - (a + b) + ab (Теорема Виета)

(x - (1 + K(3)i) / 2)(x - (1 - K(3)i) / 2) = x^2 - ((1 + K(3)i)/2) + (1 -
K(3)i)/2))x + (1 - K(3)i)/2) (1 + K(3)i)/2)

При сложении и перемножении комплексно сопряжённых чисел мнимые части
уничтожаются! ! !

Будет

x^2 - x + 1

Аналогично оставшаяся пара скобок в произведении даёт

x^2 + x + 1

Теперь эти 2 скобки перемножим

(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) = (x^2 + 1 - x)(x^2 + 1+ x)

Разность квадратов!

Будет

(x ^2+ 1)^2 - x^2 = x^4 + x^2 + 1

Получили исходное выражение! ! !

Обратное действие (средствами школьной алгебры) :

x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 - x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 -
x^2 = (x^2 + 1 - x)(x^2 +1 + x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)

Всё!

В принципе, для ответа достаточно всего лишь двух последних строчек