При дожде в безветренной погоде ведро заполняется за время Т0. Скорость падения капель в ведро С0. За какое время...

Пусть ведро площадью сечения S заполняется дождём, капли которого падают со скоростью W под углом a к вертикали.
За время t в ведро попадают капли, находящиеся в объёме наклонного цилиндра с основанием S и высотой Wt cos a, т. е. в объёме V = WSt cos a.
Здесь W cos a - вертикальная составляющая скорости капель.
Применительно к задаче о горизонтально движущемся ведре W cos a - скорость капель дождя относительно земли - величина постоянная (не зависит от скорости ведра) .
Концентрация капель также не изменяется, поэтому и время наполнения ведра будет тем же.
Если ведро имеет вертикальную составляющую скорости, то её нужно учитывать.

Я тоже считаю, что время не изменится.

При достаточно быстром перемещении ведра, сравнимой со скоростью дождя, сечение входного отверстия приобретет эквивалентную форму эллипса, как будто ведро стоит не вертикально, а под углом к вектору падения капель. Площадь сечения дыры будет уменьшаться. При увеличении скорости оно вообще стремится вытянуться в линию, правда, никогда её не достигнет.
Вывод ?

Изменится! Площадь прохождения капель через горлышка ведра из круглого станет эллипсом (один радиус останется радиусом ведра, а второй уменьшиться из-за горизонтального движения)