почему именно Арабский халифат, а не Арабская империя, а именно "халифат"?

именно так называется.

Ну не учили они латынь.
Халифат (араб. خليفة‎‎ — Khalīfah — «наследник» , «представитель» ) — система исламского теократического государства, либо феодальное арабо-мусульманское государство, созданное пророком Мухаммедом и впоследствии возглавляемое халифами.

Ну в западной историографии её часто называют именно что империей, это у нас нет, традиция такая.
Плюс, конечно, то что это была теократия.