Теория вероятностей! Теория вероятностей! Может ли быть центральный момент порядка К СВ X ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ?

Эм-м-м.. . Ну, рассмотрим простейшую случайную величину x, принимающую значение a с вероятностью p, и значение b с вероятностью 1-p, причем a < b.

Мат. ожидание этой величины будет равно: M=ap+b(1-p). Тогда величина x-M будет принимать следующие значения:
a-ap-b(1-p) = -(b-a)(1-p) с вероятностью p,
b-ap-b(1-p) = (b-a)p с вероятностью 1-p

Ясно, что все моменты четных порядков будут неотрицательны. А вот для k-го момента нечетного порядка имеем:
[-(b-a)(1-p)]^k p + [(b-a)p]^k (1-p) =
(b-a)^k p^k (1-p) - (b-a)^k (1-p)^k p =
(b-a)^k p (1-p) [ p^(k-1) - (1-p)^(k-1) ]

Знак этого выражения зависит от последнего множителя. Найдем, при каких p он может быть меньше 0:
p^(k-1) - (1-p)^(k-1) < 0
p^(k-1) < (1-p)^(k-1)
ln p^(k-1) < ln (1-p)^(k-1)
(k-1) ln p < (k-1) ln (1-p)
ln p < ln (1-p)
ln (1-p) - ln p > 0
ln [1/p-1] > 0
1/p-1 > 1
1/p > 2
p > 1/2

Получаем, что по крайней мере для рассмотренной случайной величины k-й центральный момент может быть отрицательным.