Дано: Сумма трех кубов чисел кратна 9. Доказать, что хотя бы одно из этих чисел кратно 3.

Предположим, что m,p,q - такие три целые числа, что сумма их
кубов делится на 9, но каждое из этих трех чисел не кратно 3.
Любое целое число, не кратное 3, имеет вид 3m+1 или 3m-1.
Разберем случай +.

(3m+1)^3+(3p+1)^3+(3q+1)^3=9n. Скобки раскроем, запишем так:

27(m^3+p^3+q^3)+27(m^2+p^2+q^2)+9(m+p+q)+3=9n.

Очевидно, это невозможно, так как 3 не делится на 9.
Аналогично рассматриваются и остальные случаи.