что такое теорема и доказательство теоремы?

Теорема (греч. theorema, от theoréo — рассматриваю, исследую) , предложение некоторой дедуктивной теории (см. Дедукция) , устанавливаемое при помощи доказательства. Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая механика, некоторые разделы физики) состоит из Т. , доказываемых одна за другой на основании ранее уже доказанных Т. ; самые же первые предложения принимаются без доказательства и являются, таким образом, логической основой данной области дедуктивной теории; эти первые предложения называют аксиомами.

В формулировке Т. различают условие и заключение. Например, 1) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3, или 2) если в треугольнике один из углов прямой, то оба других — острые; в каждом из этих примеров после слова "если" стоит условие Т. , а после слова "то" — заключение. В такой форме можно высказать каждую Т. Например, Т. : "всякий вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой", можно высказать так: "если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой".

Для каждой Т. , высказанной в форме "если.. . то... ". можно высказать ей обратную теорему, в которой условие является заключением, а заключение — условием. Прямая и обратная Т. взаимно обратны. Не всякая обратная Т. оказывается верной; так, для примера 1) обратная Т. верна, а для примера 2) — очевидно неверна. Справедливость обеих взаимно обратных Т. означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия) .

Если заменить условие и заключение Т. их отрицаниями, то получится Т. , называемая противоположной данной (см. Противоположная теорема) , она равносильна обратной Т. Точно так же и Т. , обратная противоположной, равносильна исходной Т. (прямой) . Поэтому доказательство прямой Т. можно заменить доказательством того, что из отрицания заключения данной Т. вытекает отрицание её условия. Этот метод, называемый доказательством от противного, или приведением к абсурду, является одним из наиболее употребительных приёмов математических доказательств
Так что же это такое - теорема?

Под теоремой в математике понимают любое математическое утверждение, справедливость которого устанавливается с помощь доказательства.

Довольно часто в теореме можно четко выделить две части: то, что дано, и то, что требуется доказать. То, что дано, называют условием теоремы. То, что требуется доказать, - утверждением теоремы или заключением.

Математическое доказательство проводится по четко определенным правилам. Исходя из ранее известных фактов и теорем, в соответствии с законами логики устанавливается справедливость новой теоремы