По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу который подвешен груз массой m = 1 кг. На какое расстояние h должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило частоту вращения n = 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом J = 0,42 кгм2, радиус шкива R = 10 см.
1. Изменение момента импульса равно моменту внешних сил:
dL/dt = M
где L - момент импульса системы,
М - момент внешних сил.
2. Внешняя сила в данном случае - это сила тяжести, давящая на груз. Она равна:
F = mg
Момент силы равен произведению вектора силы на радиус-вектор, проведенный от оси вращения к точке приложения силы. Т. к. в данном случае эти векторы перпендикулярны, то момент силы равен:
M = mg*R
где R - радиус шкива.
3. Момент импульса системы равен:
L = J*w
где w - угловая скорость системы.
Т. к. момент инерции системы J не меняется. то:
dL/dt = J*dw/dt
4. частота f связана с угловой скоростью соотношением:
w = 2тт*f
f = w/2тт
Отсюда:
dL/dt = J*dw/dt = (J/2тт) *df/dt
5. Окончательно:
J/2тт) *df/dt = mgR
Решая это уравнение, получим:
J/2тт) *f(t) = mgR*t + C
C - это начальная частота вращения шкива. Т. к. она равна 0, то С = 0. Итого:
J/2тт) *f(t) = mgR*t
6. Полагая f = 1 об/сек = 60 об/мин находим:
t = J/2ттmgR
За это время шкив получит частоту вращения, равную n = 1 об/сек = 60 об/мин
7. А теперь найдем, сколько оборотов сделает шкив за это время. Т. к. начальная частота равна 0, то количество оборотов, сделанных системой за время t будет равно:
N = (df/dt)*(t^2)/2 - аналогично расстоянию, пройденному равноускоренно за время t.
или, учитывая что df/dt = 2ттmgR/J
N = 2ттmgR*t^2/2J = ттmgR*t^2/J
Подставляя t = J/2ттmgR, получим:
N = J/4ттmgR
8. А теперь умножаем количество оборотов шкива N на длину окружности шкива и получаем искомое расстояние h.
Успехов!
⇢