Объясните пожалуйста нормальным языком, что такое ортонормированный базис?

В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Любую ортонормированную систему векторов конечномерного евклидова пространства можно дополнить до ортонормированного базиса.

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e1, e2, ..en — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

x = x1e1 + x2e2 + .+xnen — разложение вектора x по этому базису, то координаты xi вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам xi =(x, ei), i = 1, 2, ..n.

Пространство n-мерных арифметических векторов Rn с естественным скалярным произведением (x,y) = x1·y1+ x2·y2 + .+xn·yn − n-мерное евклидово пространство.

Векторы e1= (1, 0, 0,...0, 0), e2= (0, 1, 0,...0, 0), ..en-1= (0, 0, 0,...1, 0), en= (0, 0, 0,...0, 1),

образуют ортонормированный базис пространства Rn.

Очевидно, что (ei, ej) = 0, если i ≠ j ,(ei, ei) = 1.
******************************************

Ортонормированный базис

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пример. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы, и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.
Тогда .
Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D1 =

;
D2 =

D3 =

Итого, координаты вектора в базисе , ,: { -1/4, 7/4, 5/2}.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А (х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .

Если точка М (х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, считая от А, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.