Подскажите, пожалуйста, отличия аспирантуры от соискательства. Как решается вопрос оплаты?возможно бесплатное обучение?

Аспирантура - вступительные экзамены, обязательное посещение занятий по очной форме (трудовая книжка в аспирантуре) и свободное посещение занятий при очной форме - срок обучения 3 года, которые должны закончится обязательной защитой. При очной форме выдается диплом об окончании апирантуры, после защиты - диплом кандидата наук. При заочной только диплом кандидата наук. Аапирантура дает право на дополнительный оплачиваемый отпуск для сдачи экзаменов кандидатского минимума.
Соискательство - форма свободного обучения возможно 2 вида. 1. Прикрепление к апирантуре для сдачи кандидатского минимума, после этого прикрепление к апирантуре для защиты. На сдачу кандидатских отводится 2 года, на защиту - 3года. 2. Прикрепление к аспирантуре при условии что есть научный руководитель на 4 года (2 - на экзамены. 2 - на защиту) .
Бюджетные места существуют на все формы обучения. Надо только поискать. Посмотрите требования к диссертационным работам и правилаи приема документов в диссертационный совет . Там как праило требуют список опубликованных работ. Должно быть не менее 2 статей в журналах ВАК. . Это конечно можно сделать и в процессе учебы, но очередь на бесплатную публикацию в ВАК 2 - 3 года. А платно - как финансы позволяют.

Соискательство всегда платное.

У соискателя прав меньше (если не путаю, ему только отпуск на защиту диссертации дают) . Соискатель не сдаёт вступительные экзамены в аспирантуру, однако, сдаёт кандидатские экзамены, как и аспиранты.
Соискатель обычно платит за своё обучение (и обычно меньше, чем аспирант) . Однако, есть ВУЗы, в которых штатный сотрудник может бесплатно быть соискателем.
P.S. В государственных учреждениях кроме бюджетной есть и платная аспирантура (правда, не во всех).

Аспирантура предполагает сдачу вступительных и итоговых экзаменов по предметам кандидатского минимума.
Соискательство - только итоговых.
Аспирантура в государственных учреждениях бесплатна.