помогите пожалуйста с олимпиадной математикой

ЛЕММА. Чётность суммы чисел, записанных на доске в каждый момент времени, не меняется.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть на сумма чисел на доске - нечётное число, и мы стираем два чётных числа. Разность двух чётных - чётна, стало быть из нечётного мы вычитаем два чётных и прибавляем чётное. Получаем нечётное число. Предположим, теперь, что стёрли два нечётных. Разность двух нечётных - чётна, следовательно, из нечётного мы вычитаем два нечётных (получаем нечётное) и прибавляем чётное - получаем нечётное. Наконец, предположим, что одно из стираемых чисел нечётно, а другое - чётно. Разность нечётного и чётного - нечётна, значит из нечётного мы вычитаем чётное и нечётное (получаем чётное) и прибавляем нечётное - получаем нечётное. Аналогично разбирается случай, когда сумма всех чисел на доске - чётное число. QED

Очевидно, в случае n=2 (т. е. всего два числа, 0 и 1), 0 мы получить не можем. При n=3, напротив, 0 получается очень легко.

При n=4*k, где k - натуральное число, 0 получается следующим образом: разбиваем числа на пары (1, 2), (3,4), ..(4*k-1, 4*k), затем последовательно стираем каждую пару и записываем модуль их разности. Получим 2*k единиц, которые объединяем в k пар, и снова вычитаем числа в каждой паре.

Докажем, что при n = 4*k+1 и n=4*k+2 сумма всех чисел от 1 до n - нечётное число. В самом деле, по известной формуле, сумма чисел от 1 до 4*k+1 будет равна (1+(4*k+1))*(4*k+1)/2 =
(4*k+2)*(4*k+1)/2=(2*k+1)*(4*k+1) - очевидно, нечётное число. Аналогично (1+(4*k+2))*(4*k+2)/2=
(4*k+3)*(2*k+1) - также нечётно.

С другой стороны, если n=4*k+3, то разобёъем все числа от 1 до n следующим образом: в первую группу включим 1, 2 и 3, во вторую 4 и 5, в третью 6 и 7 и т. д. Как полуичить 0 из 1, 2 и 3 мы уже знаем, а с оставшимися парами действуем как в случае n=4*k.

Ответ: n=4*k, n=4*k+3, k=0, 1, 2...

Возможно