Всеволод стоял у истоков сборной СССР по хоккею с шайбой, с которой в 1954 году выиграл первый титул чемпиона мира, став лучшим нападающим турнира. Высшим достижением этой сборной стала победа на Олимпиаде-1956, где советские хоккеисты одержали семь побед в семи матчах, с разницей голов 40:9, а капитан команды Всеволод Бобров набрал 11 очков по системе гол+пас. Кроме того, Бобров стал единственным игроком в истории, который был капитаном как футбольной, так и хоккейной сборной. В составе сборной СССР Бобров также выиграл чемпионат мира 1956 года, а на чемпионате мира 1957 года стал лучшим бомбардиром турнира с 13 шайбами, несмотря на то, что сборная СССР выиграла лишь серебряные медали. Будучи хоккеистом, Бобров исполнял известный бросок, получивший позже название «финт Боброва» (во время его выполнения хоккеист объезжает ворота и забрасывает шайбу в ближний угол).
Яркая игра Боброва и в футбол не оставила равнодушным тренера московского «Динамо» Михаила Якушина, который пригласил нападающего принять участие в составе своей команды в турне по Великобритании. Динамовцы выступили достойно, выиграв два матча и дважды сыграв вничью (наиболее яркий матч они провели против лондонского «Арсенала», который выиграли со счётом 4:3). Всеволод принял участие во всех матчах и стал лучшим бомбардиром команды, забив шесть голов.
Параллельно с футболом, Бобров также играл в хоккей с мячом (или в русский хоккей), что позволяло футболистам поддерживать хорошую форму в межсезонье. В составе ЦДКА Бобров выиграл два Кубка СССР, забивая решающие голы в обоих финалах. Однако после этого он сосредоточился на футболе и хоккее с шайбой.
За футбольный ЦДКА в чемпионатах СССР Бобров провёл 79 матчей, в которых забил 80 голов. В 1947 году он совместно со своим партнёром Валентином Николаевым второй раз в карьере стал лучшим бомбардиром чемпионата СССР (оба форварда записали на свой счёт 14 голов). В 1948 году он забил решающий гол в ворота московского «Динамо», позволивший ЦДКА стать чемпионом СССР. Всего за этот период ЦДКА трижды становился чемпионом СССР, а также выиграл два Кубка СССР. С 1950 года Бобров выступал за футбольный ВВС, а в 1953 году провёл несколько матчей в составе московского «Спартака» (и пополнил свою коллекцию трофеев очередным чемпионством).
С 1925 по 1941 годы семья Бобровых жила в Сестрорецке, под Ленинградом. С 1938 года Всеволод Бобров выступал за футбольную команду ленинградского «Динамо».
Памятник Боброву в Сестрорецке.
