Можно ли в 16 лет получить банковскую карту? И нужно ли идти в точку выдачи карты с родителями?

можно вроде с 14 на имя родителя, либо на свое, но можно

С 14 лет можно получить любую карту

можно.
паспорт есть-иди и получай.
это твоя карта, а не родителей

Всё зависит от банка.
Некоторые банки выдают дебетовые карты несовершеннолетним с 14 лет по паспорту без родителей. К примеру, это Сбербанк, Тинькофф, Альфа-банк.
Другие банки оформляют дебетовки гражданам 14-17 лет, но требуют письменное согласие от одного из родителей - например Почта Банк, Райффайзенбанк, Русский Стандарт. Исключение - редкие случаи эмансипации (досрочное получение полной дееспособности в особых случаях), когда вместо ПСР требуют документ-доказательство этой процедуры.
А какие-то банки выдают их дебетовые карты ТОЛЬКО лицам от 18 лет, независимо от разрешения родителей или эмансипации (эмансипация не даёт прав, на которые установлен строгий возрастной ценз, т. к. не приравнена к совершеннолетию). К ним относятся ВТБ, Открытие, ПСБ, Россельхозбанк, ГПБ, Росбанк и многие другие.
Для того, чтобы узнать возрастные ограничения на дебетовые карты разных банков - звони на горячую линию и спрашивай эту информацию.
Напишу по основным банкам информацию - со скольки лет у них дебетовые карты, наглядно:
Сбербанк - 14
ВТБ - 18
Тинькофф - 14
Альфа-банк - 14
Газпромбанк (ГПБ) - 18
Россельхозбанк - 18
ПСБ - 18
Открытие - 18
Райффайзен - 14*
Росбанк - 18
Юникредит - 18
Хоум Кредит Банк - 14*
Почта Банк - 14*
Русский Стандарт - 14*
МТС Банк - 14*
Уралсиб - 18

* - до 18 только при ПСР или эмансипации

Можно без родителей