Обработка переполнения в операциях с целыми типами данных в языке С.

Язык C не обрабатывает переполнения. От слова "совсем".
Единственный способ отследить переполнение - в своём коде руками прописывать проверки. Либо значений операндов до выполнения операции, либо результата операции.

Например, если мы складываем положительные числа и после q += r значение q стало отрицательным (для signed) или уменьшилось (для unsigned) - у нас переполнение.

Тут интересно пишут «Свод правил по работе с целыми числами в C/C++»
https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/551216/
Это чтобы больше желание связываться с си не было :)
А так си наследник ассемблера, так что поведение должно быть близко к нему и решения для переполнения тоже из него берите.

Обрабатывается алгоритмически, хотя можно перейти на ассемблерную вставку или реализовывать библиотеку на ассемблере и проверять аппаратные флаги.

Для примера несколько операций для беззнаковых:
Инкремент - если операнд равен максимальному значению, то переполнение, к старшей части нужно прибавить единицу, нижняя. естественно, обнулится
Сложение - как выше написал Андрей, если значение в младшей части после сложения стало меньше добавляемого операнда, то переполнение, надо добавить единицу в старший.
Умножение - операция не использует признака переполнения, есть формула расчета длинного значения, см иллюстрацию и дальше гуглить "multi-precision multiplication", если проблемы в реализации

Ну, если ассемблерные вставки существуют не для этого, то для чего они тогда вообще нужны? Си + Асм - лучше не сделаешь! Просто проверяешь флаг переноса с помощью JC addr и прыгаешь на обработчик. И ЭТО ВСЁ!