Если провести отдельный кабель и автомат для стиральной машины, можно ли туда ещё и чайник включать во время работы

Стиральная машина потребляет не очень много - 10 ампер в пике, на самом деле к ней прокладывать отдельную линию вообще как правило не обязательно (нас просто разводят на бабки) .
Чайник, если он на 2,2 квт, потребляет столько же. А бывают и чайники по 3 и более квт.
А дальше - смотрите, какой у вас автомат и каково сечение провода. На ток 25 ампер берут провод 2,5 кв мм.
Ставить автомат на больший ток, чем допустимый для проложенного провода, ни в коем случае не следует!
Но я бы, даже если это можно, напрасно рисковать не стал бы: если от включения чайника "вышибет" автомат во время работы стиралки - это приведет к сбою в выполнении программы стирки.
Хотя, честно говоря, у нас стиралка и прочие розетки висят на одном автомате на 16 А - и почему-то автомат ни разу не выбивало, хотя мы, включая чайник, никогда не заморачиваемся, не работает ли стиралка.

Смотря на какую нагрузку будет твой автомат

обычно 2.5мм. кв на розетки, поменяй те автомат с16 на 25 ампер и всё

Если проводка на счетчике выдержит, то можно

И не только чайник!
А эл. чайник любой мощности-кратковременная нагрузка, т. е. сработает меньше чем за 30 мин. , а значит и говорить о ней нет никакого смысла!
16А всегда на все хватает. Режим КРАТКОВРЕМЕННЫЙ.

в зависимости от сечения кабеля и ампеража выбранного автомата...

Смотря какой кабель и автомат стоять будет. а так можно.